消失的正方形之谜

  将一张方格纸按图1所示画上正方形,然后沿图中所示的直线切割成5小块。当按照图2所示将这些正方形重新拼接成正方形时,中间竟然会出现一个空缺的小洞。被切割的图1是由49个正方形组成,但是拼接成的图2竟然只有48个。那么,失踪的正方形去哪了呢?


  针对几何图形的认识,在1961年5月份的《科学美国人》杂志上,数学大师马丁·加德纳发表了一道题目,就是有关这个失踪的正方形。

  加德纳把一个“三角形”分成特定的四块,然后把它重新组合成“新三角形”,这个“新三角形”与“原三角形”形状相似,但是却少了一格的面积。需要申明的是,在重新组合的过程中,没有对这四块图形做过任何手脚,但为何就是少了一个正方形呢?这让很多人困惑不解。

  其实,图中的“三角形”并不是真正的三角形,它的斜边看起来是直线,但实际上却是弯曲的,这就是正方形消失的关键。如果将这两张图重叠,那么溢出的斜边就形成了一个非常小的平行四边形,它刚好占据了一格的大小,这就恰恰是第二张图中失踪的正方形。


  在这个失踪的正方形中,如果没有实质的运算或者是仔细观察,那么对绝大多数人而言,这个缺失的图形总是显得莫名其妙,由同一张纸剪除的图形,在没有丢失任何形状的纸片后,竟然拼不回原来的形状。

  我们可以运用算法来证实一下,假设图形如图4所示,上下两个图形由同样的四个部分组合而成,都构成了一个13×5的直角三角形,但下面的图形中却缺失了一个1×1的正方形。这个谜题的关键是上下两个图形实际上并不是三角形:1号小三角形的斜边斜率为2/5,而2号小三角形的斜边斜率是3/8,显然两者不等。如果将上、下两个图形重叠进行比较,那么就会发现上面图形的“斜边”是一条“凹”形状的折线,图形面积为四个部分之和,即3×5+(5×2)/2+(8×3)/2=32。而下面一个图形的“斜边”则是一条“凸”的折线,图形面积为四个部分之和加上一块1×1的正方形面积,即33。两个图形相差的面积正是下面图形中“失踪”的正方形区域的面积。


  因此,正方形的消失只是因为我们先入为主的认为图中的“三角形”是真的三角形,而忽视了去证实它,完美地用视觉错觉骗过了我们的眼睛。

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